函数上的最大曲率点
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在一些数据分析任务中，我们有时需要将数据拟合成曲线，并试图确定一个拐点来解释性质变化。那么，如何才能精确地找到这个拐点？
比如：
这里介绍R语言soilphysics包中的maxcurv()函数，来帮我们计算出函数曲线上的最大曲率点。
它的一般用法：
maxcurv(x.range, fun, method = c("fd", "pd"), graph = TRUE)
# x.range: x 范围，一个包含两个元素的向量，表示曲线的取值范围。
# fun: 要计算曲率的函数，必须是一个可调用的 R 函数。
# method: 计算曲率的方法，可以是 "fd"（有限差分法）或 "pd"（抛物线拟合法）。
# graph: 是否显示计算过程的图形，默认为 TRUE。
返回值是一个列表，包含以下元素：
# x0: 最大曲率点的 x 坐标。
# y0: 最大曲率点的 y 坐标。
# curvature: 最大曲率点处的曲率值
原理：
- 对于给定的函数，首先在指定范围内生成足够密集的点。
- 根据指定的方法（有限差分法或抛物线拟合法），计算每个点处的曲率值。
- 找到曲率值最大的点，即为最大曲率点。
- 返回最大曲率点的坐标和曲率值。
示例1:
x_min = 1
x_max = 20
mc <-
\(f) {
soilphysics::maxcurv(
x.range = c(x_min, x_max),
fun = f,
method = "pd",
graph = FALSE
)
}
# cubic
cube <- \(x) 7424243 + (1.679594 - 7424243) / (1 + (x / 16.96819)^9.773759)
r <- mc(cube)
plot(cube(x_min:x_max), type = "l")
points(r$x0, r$y0, col = "darkred", pch = 4, cex = 2)
示例2:
# exponential
expo <- \(x) exp(-x)
r <- mc(expo)
plot(expo(x_min:x_max), type = "l")
points(r$x0, r$y0, col = "darkred", pch = 4, cex = 2)
