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猜猜篮子里有多少苹果

· Xiebro

问题场景

  • 在一个桶里，有同等数量的红苹果与青苹果，但你并不知道具体数量。
  • 你随机抽取了 19 个，发现拿了红苹果 8 个，青苹果 11 个。
  • 针对刚才桶里苹果的总数量（红与青之和），最好的猜测是多少？
  • 注：为了卫生起见，拿出任何一个苹果后就不准再放回桶里。

这是一个参数估计的概率问题，具体来说是通过已知的样本信息来估计总体参数的值。

在这个情景中，我们知道从一个桶中抽取了19个苹果，其中8个是红色的，11个是青色的。我们并不知道桶中到底有多少个苹果，但我们想要估计红色和青色苹果的总数量。

因此，我们需要考虑在不同假设下（桶中红色苹果的数量），得到观察样本的概率。然后，我们找到使得这一概率最大化的假设，即我们的最佳估计。

换句话说就是：当篮子里有多少个苹果时，你有最大的概率会抽到8红11青。

所以我们可以通过蒙特卡洛模拟计算：

  • 当篮子里有11个红(或青)苹果时（即总共22个），抽到8红11青的概率是p11
  • 当篮子里有12个红(或青)苹果时（即总共24个），抽到8红11青的概率是p12
  • ……
  • 当篮子里有n个红(或青)苹果时（即总共2n个），抽到8红11青的概率是pn

Monte-Carlo Simulation

library(purrr)
# 场景复刻
nn_size  = 19
nn_red   = 8 
nn_green = 11

# 生成一个装有2n个苹果的篮子(0:红, 1:青)
generate_bin <- function(n) {
    rep.int(c(0L, 1L), n)
}

# 实验设计
run_experiment <- function(n, trials = 10e3) {
    if (n < max(nn_red, nn_green)) return(0L)
    reps <- replicate(
        trials,
        n |>
            # 生成篮子
            generate_bin() |> 
            # 随机不放回抽样
            sample(size = nn_size, replace = FALSE) |> 
            # 判断结果是否符合预期
            sum() == nn_green 
    )
    
    # 预期结果出现的概率=预期结果出现的次数/总抽样次数
    sum(reps) / trials
}

# 实验进行
set.seed(1234)
res <- purrr::map_dbl(2:50, run_experiment)
# 出现最大概率时所对应的红（青）苹果数量
N <- which(res == max(res))

可视化

library(ggplot2)

NULL |>
  ggplot(aes(x = 1:length(res), y = res))+
  geom_step()+
  geom_vline(xintercept = N,
             col = "salmon",
             lty = 4)+
  geom_text(aes(x = N + 2,
                y = 0.025,
                col = "red",
                label = N))+
  guides(col = "none")

所以，最好的猜测是：总共34个苹果。